$A$ が $m \times n$ 行列であるとき、$W = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \}$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$A$ が $m \times n$ 行列であるとき、$W = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \}$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$W$ が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることを示すには、以下の3つの条件を満たすことを示す必要があります。

(1) 零ベクトル $\mathbf{0}$ が $W$ に含まれる。

(2) $W$ の任意の2つのベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ が $W$ に含まれる（加法について閉じている）。

(3) $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $W$ に含まれる（スカラー倍について閉じている）。

(1) 零ベクトル $\mathbf{0}$ が $W$ に含まれることを示す。

$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ であるから、$\mathbf{0} \in W$ が成り立つ。

(2) $W$ の任意の2つのベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ が $W$ に含まれることを示す。

$\mathbf{u} \in W$ かつ $\mathbf{v} \in W$ であるとき、$A\mathbf{u} = \mathbf{0}$ かつ $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ が成り立つ。

このとき、

$A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$

であるから、$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ が成り立つ。

(3) $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $W$ に含まれることを示す。

$\mathbf{u} \in W$ であるとき、$A\mathbf{u} = \mathbf{0}$ が成り立つ。

このとき、

$A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}$

であるから、$c\mathbf{u} \in W$ が成り立つ。

以上の(1), (2), (3) より、$W$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である。

3. 最終的な答え

$W = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \}$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である。