実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ と $B$ が次のように与えられています。 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 4\}$ $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$ このとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{A \cap B}$ (2) $\overline{A \cup B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ と $B$ が次のように与えられています。

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 4\}$

$B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$

このとき、次の集合を求めます。

(1) $\overline{A \cap B}$

(2) $\overline{A \cup B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$、$A \cup B$、$\overline{A}$、$\overline{B}$ を求めます。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 4\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x < 0 \text{ または } 3 < x \leq 4\}$

$A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 4\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } 3 < x < 6\}$

$A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ または } -1 \leq x < 6\}$

$A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 6\}$

$\overline{A} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$

$\overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x \geq 6\}$

(1) $\overline{A \cap B}$

$\overline{A \cap B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x > 4\}$

(2) $\overline{A \cup B}$

$\overline{A \cup B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x \geq 6\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } x > 4\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x \geq 6\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x > 4\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cap B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x > 4\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ または } 0 \leq x \leq 3 \text{ または } x > 4\}$