$7^{100}$ の桁数と最高位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

$7^{100}$ の桁数と最高位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$7^{100}$ の桁数を求めます。桁数を求めるには、常用対数を利用します。$log_{10}7^{100}$ を計算し、その整数部分に1を足すと桁数が求まります。

$log_{10}7^{100} = 100 \times log_{10}7$

$log_{10}7 \approx 0.8451$ であるため、

$100 \times log_{10}7 \approx 100 \times 0.8451 = 84.51$

よって、$7^{100}$ の桁数は $84 + 1 = 85$ 桁です。

次に、最高位の数字を求めます。

$log_{10}7^{100} = 84.51$ であったので、$7^{100} = 10^{84.51} = 10^{84} \times 10^{0.51}$ と表せます。

$10^{0.51}$ の値が最高位の数字に影響します。$10^{0.51} = x$ とおくと、$log_{10}x = 0.51$ となります。

$log_{10}3 \approx 0.4771$

$log_{10}4 = 2 \times log_{10}2 \approx 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$log_{10}3 < 0.51 < log_{10}4$ であるため、$3 < 10^{0.51} < 4$ となります。

$0.51$ は $0.4771$ より $0.6020$ に近いので $10^{0.51}$ は $3$ よりも $4$ に近いと言えます。より正確な値を求めるには、対数表を参照するか、電卓などを使用します。$10^{0.51} \approx 3.2359$ となります。

したがって、$7^{100}$ の最高位の数字は $3$ です。

3. 最終的な答え

桁数: 85桁

最高位の数字: 3