与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、いくつかの方法がありますが、ここでは掃き出し法を用いて解きます。

まず、与えられた行列 $A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[A | I]$ を作ります。

$[A | I] = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、この拡大行列を基本変形を用いて、左側の行列が単位行列になるように変形します。つまり、$[I | A^{-1}]$ の形に変形することを目指します。

(1) 1行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 2行目に1行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 11/2 & 1 &|& 1/2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 11/2 & 1 &|& 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & -9/2 & -1 &|& -3/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 2行目を2/11倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3/2 & 0 &|& 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2/11 &|& 1/11 & 2/11 & 0 \\ 0 & -9/2 & -1 &|& -3/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5) 1行目から2行目の3/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/11 &|& 4/11 & -3/11 & 0 \\ 0 & 1 & 2/11 &|& 1/11 & 2/11 & 0 \\ 0 & -9/2 & -1 &|& -3/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(6) 3行目に2行目の9/2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/11 &|& 4/11 & -3/11 & 0 \\ 0 & 1 & 2/11 &|& 1/11 & 2/11 & 0 \\ 0 & 0 & -7/11 &|& -3/11 & 9/11 & 1 \end{pmatrix}$

(7) 3行目を-11/7倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/11 &|& 4/11 & -3/11 & 0 \\ 0 & 1 & 2/11 &|& 1/11 & 2/11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3/7 & -9/7 & -11/7 \end{pmatrix}$

(8) 1行目に3行目の3/11倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 37/77 & -48/77 & -3/7 \\ 0 & 1 & 2/11 &|& 1/11 & 2/11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3/7 & -9/7 & -11/7 \end{pmatrix}$

(9) 2行目から3行目の2/11倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 37/77 & -48/77 & -3/7 \\ 0 & 1 & 0 &|& 1/77 & 32/77 & 2/7 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3/7 & -9/7 & -11/7 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 37/77 & -48/77 & -3/7 \\ 1/77 & 32/77 & 2/7 \\ 3/7 & -9/7 & -11/7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 37/77 & -48/77 & -3/7 \\ 1/77 & 32/77 & 2/7 \\ 3/7 & -9/7 & -11/7 \end{pmatrix}$

または

$A^{-1} = \frac{1}{77} \begin{pmatrix} 37 & -48 & -33 \\ 1 & 32 & 22 \\ 33 & -99 & -121 \end{pmatrix}$