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与えられた4つの行列A, B, C, Dの中から、行列の積が定義できる組み合わせをすべて見つけ、それらの積を計算する問題です。 行列のサイズは以下の通りです。 A: (2, 3) B: (1, 3) C: (3, 2) D: (3, 3)

代数学行列行列の積線形代数
2025/7/26

1. 問題の内容

与えられた4つの行列A, B, C, Dの中から、行列の積が定義できる組み合わせをすべて見つけ、それらの積を計算する問題です。
行列のサイズは以下の通りです。
A: (2, 3)
B: (1, 3)
C: (3, 2)
D: (3, 3)

2. 解き方の手順

行列の積が定義できる条件は、前の行列の列数と後ろの行列の行数が一致することです。
例えば、行列M(m, n)と行列N(p, q)の積MNが定義できるのは、n = pのときです。
この条件に基づいて、与えられた行列の組み合わせについて確認し、積が定義できる場合は積を計算します。
* AB: (2, 3) * (1, 3) → 積は定義できない。
* AC: (2, 3) * (3, 2) → 積は定義可能。
* AD: (2, 3) * (3, 3) → 積は定義可能。
* BA: (1, 3) * (2, 3) → 積は定義できない。
* BC: (1, 3) * (3, 2) → 積は定義可能。
* BD: (1, 3) * (3, 3) → 積は定義可能。
* CA: (3, 2) * (2, 3) → 積は定義可能。
* CB: (3, 2) * (1, 3) → 積は定義できない。
* CD: (3, 2) * (3, 3) → 積は定義できない。
* DA: (3, 3) * (2, 3) → 積は定義できない。
* DB: (3, 3) * (1, 3) → 積は定義できない。
* DC: (3, 3) * (3, 2) → 積は定義可能。
積が定義可能な組み合わせとその計算結果は以下の通りです。
* AC = (213−501)(4130−17)=(8+3−32+0+21−20+0−1−5+0+7)=(823−212)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+3-3 & 2+0+21 \\ -20+0-1 & -5+0+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}
* AD = (213−501)(015−32153−6)=(0−3+152+2+910+1−180+0+5−5+0+3−25+0−6)=(1213−75−2−31)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3+15 & 2+2+9 & 10+1-18 \\ 0+0+5 & -5+0+3 & -25+0-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
* BC = (514)(4130−17)=(20+3−45+0+28)=(1933)\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20+3-4 & 5+0+28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 33 \end{pmatrix}
* BD = (514)(015−32153−6)=(0−3+205+2+1225+1−24)=(17192)\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3+20 & 5+2+12 & 25+1-24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
* CA = (4130−17)(213−501)=(8−54+012+16+03+09+0−2−35−1+0−3+7)=(3413639−37−14)\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & 4+0 & 12+1 \\ 6+0 & 3+0 & 9+0 \\ -2-35 & -1+0 & -3+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
* DC = (015−32153−6)(4130−17)=(0+3−50+0+35−12+6−1−3+0+720+9+65+0−42)=(−235−7435−37)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3-5 & 0+0+35 \\ -12+6-1 & -3+0+7 \\ 20+9+6 & 5+0-42 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 35 \\ -7 & 4 \\ 35 & -37 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

行列の積が定義できる組み合わせは以下の通りです。
AC, AD, BC, BD, CA, DC
計算結果は以下の通りです。
AC = (823−212)\begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}
AD = (1213−75−2−31)\begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
BC = (1933)\begin{pmatrix} 19 & 33 \end{pmatrix}
BD = (17192)\begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
CA = (3413639−37−14)\begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
DC = (−235−7435−37)\begin{pmatrix} -2 & 35 \\ -7 & 4 \\ 35 & -37 \end{pmatrix}

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