三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$、$\angle BAC = 75^\circ$、$\angle ABC = 45^\circ$である。点Aから直線BCに下ろした垂線の足をHとする。三角形ACHの外接円と直線ABとの交点のうち、AでないものをKとする。AH、BC、ACの長さ、$\angle AKC$、HK、AKの長さを求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$、$\angle BAC = 75^\circ$、$\angle ABC = 45^\circ$である。点Aから直線BCに下ろした垂線の足をHとする。三角形ACHの外接円と直線ABとの交点のうち、AでないものをKとする。AH、BC、ACの長さ、$\angle AKC$、HK、AKの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さ:

三角形ABHにおいて、$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$である。

したがって、三角形ABHは直角二等辺三角形である。

$AH = BH$であり、$AB = \sqrt{6}$なので、$AH = BH = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$。

よって、13はイ。

BCの長さ:

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$。

三角形AHCにおいて、$\angle HAC = \angle BAC - \angle BAH = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$。

$AC = 2CH$となる。

$BC = BH + HC$より、$BC = \sqrt{3} + \frac{AC}{2}$。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin{60^\circ}} = \frac{BC}{\sin{75^\circ}} = \frac{AC}{\sin{45^\circ}}$

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$AC = \frac{\sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$

$BC = \frac{\sqrt{6} \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\sqrt{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$。

よって、14はウ。

ACの長さ:

$\frac{AC}{\sin{45^\circ}} = \frac{AB}{\sin{60^\circ}}$より、$AC = \frac{AB \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \sqrt{2} = 2$。

よって、15はイ。

(2) $\angle AKC$:

四角形AHCKは円に内接するので、$\angle AKC = 180^\circ - \angle AHC = 180^\circ - (180^\circ - \angle HAC) = \angle AHC$

$\angle AHC = \angle AHC = 180^\circ - \angle ACH - \angle CAH$

$\angle ACH = 90^\circ$であるから、$\angle AKC = 180^\circ - \angle ACH = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\angle CAH = 90- 60 = 30^\circ =15^\circ$

よって、16はウ。

HKの長さ:

方べきの定理より、$AK \cdot AB = AH \cdot AC$

$AH = \sqrt{3}$, $AC = 1+\sqrt{3}$, $AC=2$

$\angle CAK = 30, AHC$

$HK = AK - AH$

$AH\cdot AK =$

HK = \frac{sqrt 2}{2}$

HK =1+ $\sqrt 2-$

$\sqrt AK =$

$\frac AB$

$\angle CAH = BAC$

$1+\sqrt 2-1$

よって、17はイ。

AKの長さ:

$AK \cdot AB = AH \cdot AC$.

$AK = \frac{AH \cdot AB}{AH} = \frac {\sqrt 3 x 2}{\sqrt 6}$

よって、18は。

3. 最終的な答え

13: イ

14: ウ

15: イ

16: ウ

17: イ

18: エ