長方形ABCDにおいて、対角線ACに点Dから垂線DHを下ろし、DHの延長線とBCの交点をEとする。 (1) $\triangle ADC$と相似な三角形をすべて答える（合同な三角形は除く）。 (2) $EC = 2$, $CD = 3$のとき、$AD$の長さを求める。 (3) (2)のとき、$AH:HC$の比を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、対角線ACに点Dから垂線DHを下ろし、DHの延長線とBCの交点をEとする。

(1) $\triangle ADC$と相似な三角形をすべて答える（合同な三角形は除く）。

(2) $EC = 2$, $CD = 3$のとき、$AD$の長さを求める。

(3) (2)のとき、$AH:HC$の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ADC$と相似な三角形について

* $\triangle ADC$は長方形の半分なので、$\angle DAC = \angle BCA$である。

* $\triangle DHC$において、$\angle DHC = 90^\circ$であり、$\angle DCA = \angle BCA$である。したがって$\triangle DHC$は$\triangle ADC$と相似である。

* $\triangle EHC$において、$\angle EHC = 90^\circ$であり、$\angle ECH = \angle BCA$である。したがって$\triangle EHC$は$\triangle ADC$と相似である。

* $\triangle ADE$において、錯角より$\angle DAH = \angle BCE$ である．さらに$\angle AHD = \angle CHE$より、$\triangle AHD \sim \triangle CHE$がいえる。したがって$\triangle AHD$と$\triangle CDE$は相似である。

したがって、$\triangle ADC$ と相似な三角形は、$\triangle DHC$、$\triangle EHC$である。

(2) $AD$の長さを求める

* 四角形ABCDは長方形なので$AD = BC$である。

* $\triangle DHC \sim \triangle EHC$より、$\frac{HC}{DC} = \frac{EC}{HC}$である。

したがって、$HC^2 = DC \times EC = 3 \times 2 = 6$より、$HC = \sqrt{6}$である。

* $\triangle DHC$において三平方の定理より、$DH^2 + HC^2 = DC^2$である。

したがって、$DH^2 = 3^2 - (\sqrt{6})^2 = 9 - 6 = 3$より、$DH = \sqrt{3}$である。

* $\triangle EHC$において三平方の定理より、$EH^2 + HC^2 = EC^2$

したがって、$EH^2 = EC^2 - HC^2$である。

$EH^2 = 4 - 6 = -2$となり、これはありえない。

ここで、$\triangle EDC$に注目する．長方形の性質から，$AB // CD$なので、$\angle EDC = \angle BEC$となる．また$\angle DCE = 90^\circ$ である。

$\triangle EDC$において、$CD = 3, EC = 2$なので、三平方の定理より、 $DE^2 = EC^2 + CD^2$である。したがって、$DE = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$となる。

ここで、$\triangle AHD \sim \triangle CED$であるから、$\frac{AH}{CE} = \frac{DH}{DE} = \frac{AD}{CD}$が成り立つ。

また、$DH = \sqrt{3}, CE = 2, CD = 3, DE = \sqrt{13}$であるから、$\frac{DH}{DE} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$となる．

したがって、$AD = CD \times \frac{DH}{DE}$であるから、$AD = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{39}}{13}$である。

(3) $AH:HC$の比を求める

* $\frac{AH}{CE} = \frac{DH}{DE}$より、$AH = CE \times \frac{DH}{DE} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

* $HC = \sqrt{6}$

したがって、$AH:HC = \frac{2\sqrt{39}}{13} : \sqrt{6} = \frac{2\sqrt{39}}{13} : \frac{\sqrt{6} \times 13}{13} = 2\sqrt{39} : 13\sqrt{6} = 2\sqrt{13} : 13\sqrt{2}$

$\frac{AH}{DH} = \frac{CE}{CD} = \frac{2}{3}$より$AH = \frac{2}{3}DH = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{39}}{13})^2 + 3^2} = \sqrt{\frac{810}{169}} = \sqrt{\frac{9 \times 90}{169}}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DHC, \triangle EHC$

(2) $AD = \frac{3\sqrt{39}}{13}$

(3) $AH:HC = 2\sqrt{39} : 13\sqrt{6}$