$\theta$ の動径が第2象限にあり、$\tan\theta = -\sqrt{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第2象限にあり、$\tan\theta = -\sqrt{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係式

$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$

を利用して、$\cos\theta$ を求めます。

$\tan\theta = -\sqrt{2}$ を代入すると、

$1 + (-\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$1 + 2 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$\cos^2\theta = \frac{1}{3}$

$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta$ の動径は第2象限にあるので、$\cos\theta < 0$ であるから、

$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して、$\sin\theta$ を求めます。

$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$

$\sin\theta = (-\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\theta$ の動径は第2象限にあるので、$\sin\theta > 0$ であるから、

$\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$