$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{2}\pi$、$\sin \theta = -\frac{4}{5}$のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{2}\pi$、$\sin \theta = -\frac{4}{5}$のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係式を利用して$\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$(-\frac{4}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{16}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{16}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{25}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{3}{5}$となります。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{2}\pi$の範囲において、$\sin \theta$ は負の値を取りますが、$\cos \theta$ は第2象限($\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$)で負の値を取り、第3象限($\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$)で負の値を取ります。問題文から$\sin \theta = -\frac{4}{5}$であるので、$\theta$は第3象限にあることがわかります。したがって、$\cos \theta$ は負の値を取るので、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$となります。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係式を利用して$\tan \theta$ を求めます。

$\sin \theta = -\frac{4}{5}$、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$

$\tan \theta = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{4}{3}$