右図において、$AB = 4$, $BC = 9$, $\angle B = \angle C = 90^\circ$ である。$BC$ 上に点 $P$ を、$CD$ 上に点 $Q$ を $\angle APQ = 90^\circ$ となるようにとる。 (1) $BP = 1$ のとき、$CQ$ の長さを求めよ。 (2) $CQ = \frac{9}{2}$ のとき、$BP$ の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**9.3**

1. 問題の内容

右図において、$AB = 4$, $BC = 9$, $\angle B = \angle C = 90^\circ$ である。$BC$ 上に点 $P$ を、$CD$ 上に点 $Q$ を $\angle APQ = 90^\circ$ となるようにとる。

(1) $BP = 1$ のとき、$CQ$ の長さを求めよ。

(2) $CQ = \frac{9}{2}$ のとき、$BP$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle APB = \alpha$ とすると、$\angle QPC = 90^\circ - \alpha$ となる。

$\triangle ABP$ において、$\angle B = 90^\circ$ より、$\angle BAP = 90^\circ - \alpha$ である。

よって、$\triangle ABP \sim \triangle PCQ$ である。したがって、$AB:PC = BP:CQ$ が成り立つ。

(1) $BP = 1$ のとき、$PC = BC - BP = 9 - 1 = 8$ であるから、$4:8 = 1:CQ$ より、$CQ = 2$ となる。

(2) $CQ = \frac{9}{2}$ のとき、$PC = 9 - BP$ であるから、$4:(9-BP) = BP:\frac{9}{2}$ より、$36 - 4BP = 2BP^2$ となる。よって、$BP^2 + 2BP - 18 = 0$。

これを解の公式で解くと、$BP = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4\times 18}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{2} = -1 \pm \sqrt{19}$ となる。

$BP$ は正なので、$BP = -1 + \sqrt{19}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $CQ = 2$

(2) $BP = -1 + \sqrt{19}$

**9.4**

1. 問題の内容

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ で、$AB = 6 \text{cm}, DE = 10 \text{cm}$ であるとき、次の問に答えよ。

(1) $\triangle ABC$ の周の長さは、$\triangle DEF$ の周の長さの何倍か。

(2) $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積の比を求めよ。

(3) $\triangle DEF = 50 \text{cm}^2$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相似な図形の周の長さの比は、相似比に等しい。

相似比は $AB:DE = 6:10 = 3:5$ であるから、$\triangle ABC$ の周の長さは $\triangle DEF$ の周の長さの $\frac{3}{5}$ 倍である。

(2) 相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しい。

したがって、面積比は $3^2:5^2 = 9:25$ となる。

(3) $\triangle DEF = 50 \text{cm}^2$ であるから、$\triangle ABC$ の面積を $x$ とすると、$x:50 = 9:25$ より、$25x = 450$ となる。よって、$x = 18$ となる。したがって、$\triangle ABC = 18 \text{cm}^2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}$ 倍

(2) $9:25$

(3) $18 \text{cm}^2$