$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = 2$ であることから、$x, y$ を用いて $\tan \theta = \frac{y}{x} = 2$ と表せます。$\theta$ が第3象限にあるので、$x < 0$ かつ $y < 0$ です。

$y = 2x$ とすると、ピタゴラスの定理から $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を求めます。

$r = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5x^2} = |x|\sqrt{5}$

第3象限なので、$x < 0$ となり、$|x| = -x$。したがって、$r = -x\sqrt{5}$

$\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{2x}{-x\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{-x\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$