半径1の円に内接する二等辺三角形について、以下の問いに答えます。 (1) 三角形の面積 $S$ を頂角 $\theta$ の式で表してください。 (2) $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する二等辺三角形について、以下の問いに答えます。

(1) 三角形の面積 $S$ を頂角 $\theta$ の式で表してください。

(2) $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ を $\theta$ で表す。

円の中心をOとする。頂角を$\theta$とする二等辺三角形ABCを考える。Aが頂角であるとする。

$\angle BAC = \theta$より、$\angle BOC = 2\theta$。$\angle OBA = \angle OCA = (180^\circ - \theta)/2 = 90^\circ - \theta/2$

$OB = OC = 1$ であるから、三角形 OBC の面積は、

$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

AB = AC なので、$\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi - \theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$.

よって、$\angle OBC = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\theta}{2}$。

したがって、 $\angle ABO = \angle ACO = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$.

ここで、$\angle AOB = \angle AOC = \frac{\pi - 2\theta}{2} = \pi/2 - \theta$　（ではない。頂点が中心角より小さい時もある。）

底角の対辺をそれぞれAB, ACとする。

頂点Aから対辺BCに垂線を下ろし、交点をDとする。

$BD = CD = 1 * \sin(\theta)$

$AD = 1 + \cos(\theta)$

面積$S = \frac{1}{2} BC \cdot AD = \frac{1}{2} (2\sin(\theta/2)) * (1 + \cos(\theta))$

$S = \sin(\theta)(1+\cos(\theta)) = \sin(\theta)+\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin\theta + \frac{1}{2} \sin2\theta$

$S = (1+\cos\theta)\sin\theta$

(2) $S$ が最大となる $\theta$ を求める。

$S(\theta) = \sin(\theta)+\frac{1}{2}\sin(2\theta)$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos(\theta)+\cos(2\theta)$

$\cos(\theta)+\cos(2\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。

$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$

$\cos\theta + 2\cos^2\theta - 1 = 0$

$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = -1$

$0 < \theta < \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\theta = \pi$は、三角形にならないので不適。

$\theta = \pi/3$ が極値を与える候補となる。

$\frac{d^2S}{d\theta^2} = -\sin(\theta)-2\sin(2\theta)$

$\frac{d^2S}{d\theta^2}|_{\theta = \pi/3} = -\sin(\pi/3) - 2\sin(2\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ で $S$ は最大値をとる。

3. 最終的な答え

(1) $S = (1 + \cos\theta)\sin\theta$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$