$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して $\cos\theta$ の値を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ を代入すると、

$(-\frac{3}{5})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

ここで、$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$ より、$\theta$ は第4象限の角である。第4象限では $\cos\theta > 0$ なので、

$\cos\theta = \frac{4}{5}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して $\tan\theta$ の値を求める。

$\tan\theta = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \frac{4}{5}$

$\tan\theta = -\frac{3}{4}$