$3x^2 + 2x - 5 = (ax+b)(cx+d)$ を満たす整数 $a$, $b$, $c$, $d$ の組を見つける際、$ac = 3$ を満たす整数の組として、$a=1$, $c=3$ だけを考えればよい理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

$3x^2 + 2x - 5 = (ax+b)(cx+d)$ を満たす整数 $a$, $b$, $c$, $d$ の組を見つける際、$ac = 3$ を満たす整数の組として、$a=1$, $c=3$ だけを考えればよい理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた二次式 $3x^2 + 2x - 5$ は整数係数を持つため、$a, b, c, d$ が整数の場合、$(ax+b)(cx+d)$ も整数係数を持つ必要があります。

$3x^2 + 2x - 5$ の $x^2$ の係数は3であるため、$ac=3$ となります。

3の約数は1, 3, -1, -3なので、$a$と$c$の組み合わせとして考えられるのは以下の4通りです。

1. $a = 1$, $c = 3$

2. $a = 3$, $c = 1$

3. $a = -1$, $c = -3$

4. $a = -3$, $c = -1$

ここで、$(ax+b)(cx+d)$ を展開すると、$acx^2 + (ad+bc)x + bd$ となります。したがって、$3x^2 + 2x - 5 = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ が成立します。

$a$と$c$の組み合わせが$a = 3$, $c = 1$の場合、式は $(3x+b)(x+d)$となります。

これは$(x+d)(3x+b)$と等しく、これは $a=1, c=3$ の $(ax+b)(cx+d)$ において、$b$と$d$を入れ替えたものと考えることができます。

同様に、$a = -1$, $c = -3$の場合、式は $(-x+b)(-3x+d)$ となります。これは $-(x-b) \cdot -(3x-d) = (x-b)(3x-d)$ と等しく、$b$と$d$の符号を変えたものと考えることができます。

$a = -3$, $c = -1$ の場合も、$a = -1$, $c = -3$と同様です。

したがって、$a=1$, $c=3$ の場合のみを考えれば、必要に応じて$b$と$d$を入れ替えたり、符号を変えることで他の組み合わせの場合も考慮できるため、$a=1$, $c=3$ の場合だけを考えれば十分です。

3. 最終的な答え

$ac = 3$ を満たす整数の組として、$a=1$, $c=3$ だけを考えればよい理由は、他の組み合わせの場合（例えば $a=3, c=1$）でも、$b$ と $d$ を入れ替えることで同じ結果が得られるからです。また、$a=-1, c=-3$ や $a=-3, c=-1$ の場合は、$b$ と $d$ の符号を変えることで $a=1, c=3$ の場合と同じ結果が得られます。