$t = x + \frac{1}{x}$ とおくとき、すべての自然数 $n$ について、$x^n + \frac{1}{x^n}$ が $t$ の $n$ 次式になることを数学的帰納法によって証明する。

1. 問題の内容

$t = x + \frac{1}{x}$ とおくとき、すべての自然数 $n$ について、$x^n + \frac{1}{x^n}$ が $t$ の $n$ 次式になることを数学的帰納法によって証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき:

$x^1 + \frac{1}{x^1} = x + \frac{1}{x} = t$ であるから、$t$ の 1 次式である。

(2) $n = 2$ のとき:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = t^2 - 2$

であるから、$t$ の 2 次式である。

(3) $n = k$ および $n = k-1$ のとき、$x^k + \frac{1}{x^k}$ および $x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}}$ がそれぞれ $t$ の $k$ 次式、$k-1$ 次式であると仮定する。すなわち、

$x^k + \frac{1}{x^k} = f_k(t)$ (次数$k$)

$x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} = f_{k-1}(t)$ (次数$k-1$)

とおける。

(4) $n = k+1$ のとき:

$t(x^k + \frac{1}{x^k}) = (x + \frac{1}{x})(x^k + \frac{1}{x^k}) = x^{k+1} + \frac{1}{x^{k-1}} + x^{k-1} + \frac{1}{x^{k+1}}$

より、

$x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}} = t(x^k + \frac{1}{x^k}) - (x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}})$

$= t f_k(t) - f_{k-1}(t)$

$t f_k(t)$ は $t$ の $k+1$ 次式であり、$f_{k-1}(t)$ は $t$ の $k-1$ 次式であるから、$t f_k(t) - f_{k-1}(t)$ は $t$ の $k+1$ 次式である。

したがって、$x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}}$ は $t$ の $k+1$ 次式である。

(1)～(4) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について、$x^n + \frac{1}{x^n}$ は $t$ の $n$ 次式であることが示された。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$x^n + \frac{1}{x^n}$ は $t$ の $n$ 次式である。