この問題は、前半が2つの小球の衝突に関する問題で、運動量保存則とエネルギー保存則、および衝突後の速度に関するいくつかの選択肢から正しいものを選ぶ問題です。後半は、斜面を滑り降りる物体の運動に関する問題で、重力の仕事と、斜面を滑り降りた後の物体の速度を求める問題です。後半部分には摩擦がある場合も含まれています。問題文中の記号 $V, M, m, V', v, g, d, \theta, \mu'$ はそれぞれ速度、質量、重力加速度、距離、角度、動摩擦係数を表します。

## 問題と解答

1. **問題の内容**

この問題は、前半が2つの小球の衝突に関する問題で、運動量保存則とエネルギー保存則、および衝突後の速度に関するいくつかの選択肢から正しいものを選ぶ問題です。後半は、斜面を滑り降りる物体の運動に関する問題で、重力の仕事と、斜面を滑り降りた後の物体の速度を求める問題です。後半部分には摩擦がある場合も含まれています。問題文中の記号 $V, M, m, V', v, g, d, \theta, \mu'$ はそれぞれ速度、質量、重力加速度、距離、角度、動摩擦係数を表します。

2. **解き方の手順**

まず、問題文全体を把握し、どの部分を解く必要があるかを明確にします。

**問5:**

重力がした仕事は、重力と変位の内積で計算できます。

$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$

重力は鉛直下向きに働き、$F = mg$ です。変位の鉛直成分は $d \sin \theta$ なので、重力がした仕事は

$W = mgd \sin \theta$

となります。

**問6:**

エネルギー保存則を使います。A地点での位置エネルギーは $mgh = mgd \sin \theta$ です。B地点では、すべての位置エネルギーが運動エネルギーに変換されているので、

$\frac{1}{2}mv^2 = mgd \sin \theta$

$v^2 = 2gd \sin \theta$

$v = \sqrt{2gd \sin \theta}$

となります。

**問7:**

摩擦がある場合のエネルギー保存則を使います。A地点での位置エネルギーは $mgh = mgd \sin \theta$ です。B地点に到達するまでに摩擦力がする仕事は $W_f = - \mu' mg \cos \theta \cdot d$ です。B地点での運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$ なので、

$\frac{1}{2}mv^2 = mgd \sin \theta - \mu' mg \cos \theta \cdot d$

$v^2 = 2gd (\sin \theta - \mu' \cos \theta)$

$v = \sqrt{2gd (\sin \theta - \mu' \cos \theta)}$

となります。

3. **最終的な答え**

問5: $mgd \sin \theta$

問6: $\sqrt{2gd \sin \theta}$

問7: $\sqrt{2gd (\sin \theta - \mu' \cos \theta)}$