複素数平面上に点 $A(\alpha)$、点 $B(\beta)$ があり、$ \alpha = 2+i $、$ \beta = x-i $ である。原点 $O$、点$A$、点$B$が一直線上にあるとき、実数 $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上に点 $A(\alpha)$、点 $B(\beta)$ があり、$\alpha = 2+i$、$\beta = x-i$ である。原点 $O$、点$A$、点$B$が一直線上にあるとき、実数 $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3点 $O$、$A$、$B$ が一直線上にあるということは、複素数 $\alpha$ と $\beta$ の偏角が等しい、または$\pi$だけ異なるということである。つまり、$\beta = k\alpha$ となる実数 $k$ が存在する。

$x - i = k(2 + i)$

$x - i = 2k + ki$

実部と虚部を比較すると、

$x = 2k$

$-1 = k$

$k = -1$ を $x = 2k$ に代入すると、

$x = 2(-1)$

$x = -2$

3. 最終的な答え

$x = -2$