与えられた式 $(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まずは、$x$の係数の和が等しくなるように組み合わせを変えて、$(x+4)(x-3)$と$(x+2)(x-1)$を計算する。

$(x+4)(x-3) = x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$

$(x+2)(x-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$

次に、$x^2+x$を$A$とおいて、式を書き換える。

$(x^2 + x - 12)(x^2 + x - 2) = (A - 12)(A - 2)$

これを展開する。

$(A - 12)(A - 2) = A^2 - 2A - 12A + 24 = A^2 - 14A + 24$

$A = x^2 + x$を代入する。

$(x^2+x)^2 - 14(x^2+x) + 24 = (x^4 + 2x^3 + x^2) - 14x^2 - 14x + 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$