$2mn + m - 4n - 32 = 0$ を満たす自然数 $m, n$ の組 $(m, n)$ は全部で何組あるかを求める問題です。選択肢は1組、2組、3組、4組です。

代数学方程式整数解因数分解約数
2025/7/26

1. 問題の内容

2mn+m4n32=02mn + m - 4n - 32 = 0 を満たす自然数 m,nm, n の組 (m,n)(m, n) は全部で何組あるかを求める問題です。選択肢は1組、2組、3組、4組です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解します。
2mn+m4n32=02mn + m - 4n - 32 = 0 を変形して、mmについて解きます。
m(2n+1)=4n+32m(2n + 1) = 4n + 32
m=4n+322n+1m = \frac{4n + 32}{2n + 1}
m=4n+2+302n+1=2(2n+1)+302n+1=2+302n+1m = \frac{4n + 2 + 30}{2n + 1} = \frac{2(2n + 1) + 30}{2n + 1} = 2 + \frac{30}{2n + 1}
mmnn は自然数なので、2n+12n + 13030 の約数である必要があります。また、2n+12n + 1 は奇数なので、3030 の奇数の約数は 1,3,5,151, 3, 5, 15 です。
2n+1=12n + 1 = 1 のとき、n=0n = 0 となり、自然数ではないので不適。
2n+1=32n + 1 = 3 のとき、n=1n = 1m=2+303=2+10=12m = 2 + \frac{30}{3} = 2 + 10 = 12
2n+1=52n + 1 = 5 のとき、n=2n = 2m=2+305=2+6=8m = 2 + \frac{30}{5} = 2 + 6 = 8
2n+1=152n + 1 = 15 のとき、n=7n = 7m=2+3015=2+2=4m = 2 + \frac{30}{15} = 2 + 2 = 4
したがって、(m,n)=(12,1),(8,2),(4,7)(m, n) = (12, 1), (8, 2), (4, 7) の3組です。

3. 最終的な答え

3

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