不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数（底が10の対数）をとります。

$\log_{10} (2^n) < \log_{10} (1000)$

対数の性質より、$\log_{10} (2^n) = n \log_{10} 2$ です。また、$\log_{10} (1000) = \log_{10} (10^3) = 3$ です。したがって、

$n \log_{10} 2 < 3$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入すると、

$0.3010n < 3$

$n < \frac{3}{0.3010}$

$n < \frac{3000}{301}$

$n < 9.966777...$

$n$ は整数であるため、不等式を満たす最大の整数は $n = 9$ です。

3. 最終的な答え

9