$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10} 2 = 0.3010$、$log_{10} 3 = 0.4771$ を用いることとします。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10} 2 = 0.3010$、$log_{10} 3 = 0.4771$ を用いることとします。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$1000 \le 13.5^n < 10000$ となることです。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$log_{10} 1000 \le log_{10} 13.5^n < log_{10} 10000$

$3 \le n log_{10} 13.5 < 4$

$13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3^3}{2}$ であるので、

$log_{10} 13.5 = log_{10} \frac{3^3}{2} = log_{10} 3^3 - log_{10} 2 = 3 log_{10} 3 - log_{10} 2 = 3 \times 0.4771 - 0.3010 = 1.4313 - 0.3010 = 1.1303$

よって、$3 \le 1.1303n < 4$

各辺を $1.1303$ で割ると、

$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$

$2.6542 \le n < 3.5389$

$n$ は整数なので、$n = 3$ となります。

$n=3$ を満たす整数 $n$ は $3$ だけです。

したがって、$13.5^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ は $n=3$ のみです。

求める整数 $n$ の個数は1個です。

3. 最終的な答え

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