関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$で計算されます。

まず、$x=a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = a^2 + 2a - 1$

次に、$x=b$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(b) = b^2 + 2b - 1$

$x$ の増加量は $b - a$ です。

$y$ の増加量は $y(b) - y(a)$ です。

平均変化率は、

$\frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{(b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1)}{b - a}$

分母を整理します。

$\frac{b^2 + 2b - 1 - a^2 - 2a + 1}{b - a} = \frac{b^2 - a^2 + 2b - 2a}{b - a}$

分子を因数分解します。

$\frac{(b - a)(b + a) + 2(b - a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a}$

$(b - a)$ で約分します。

$b + a + 2$

3. 最終的な答え

$a + b + 2$