以下の不定積分を計算します。 $\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

2. 解き方の手順

積分を各項に分解します。

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx = \int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx$

定数を積分の外に出します。

$= 5\int x^4 dx - 3\int x^2 dx + \frac{3}{2}\int \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x}$を$x$の指数で表現します。

$= 5\int x^4 dx - 3\int x^2 dx + \frac{3}{2}\int x^{\frac{1}{2}} dx$

各項を積分します。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を使います。

$= 5\frac{x^{4+1}}{4+1} - 3\frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{3}{2}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C$

$= 5\frac{x^5}{5} - 3\frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

$= x^5 - x^3 + x^{\frac{3}{2}} + C$

$x^{\frac{3}{2}}$を$\sqrt{x^3}$に戻します。

$= x^5 - x^3 + \sqrt{x^3} + C$

$= x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$