与えられた式 $(x^2 - 2xy + 4y^2)(x^2 + 2xy + 4y^2)$ を展開し、整理した結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 2xy + 4y^2)(x^2 + 2xy + 4y^2)$ を展開し、整理した結果を求めます。

2. 解き方の手順

この式は、和と差の積の形に近いので、工夫して計算します。

まず、$x^2 + 4y^2$ を $A$ と置くと、式は $(A - 2xy)(A + 2xy)$ となります。

$(A - 2xy)(A + 2xy) = A^2 - (2xy)^2$

ここで、$A = x^2 + 4y^2$ を代入します。

$(x^2 + 4y^2)^2 - (2xy)^2$

$(x^2 + 4y^2)^2$ を展開します。

$(x^2 + 4y^2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(4y^2) + (4y^2)^2 = x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4$

$(2xy)^2$ を展開します。

$(2xy)^2 = 4x^2y^2$

よって、式は次のようになります。

$x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4 - 4x^2y^2$

同類項をまとめます。

$x^4 + (8x^2y^2 - 4x^2y^2) + 16y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 16y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^2y^2 + 16y^4$