問題は、与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解くことです。与えられた連立方程式は2つあります。 (1) $x + 2y + z = 2$ $2x + 3y + 2z = 4$ $6x + 5y + 6z = 12$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解くことです。与えられた連立方程式は2つあります。

(1)

$x + 2y + z = 2$

$2x + 3y + 2z = 4$

$6x + 5y + 6z = 12$

(2)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)の連立方程式を解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 6 & 5 & 6 & 12 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

3行目から1行目の6倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の-7倍を引きます。

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$x + z = 2$, $y = 0$となります。

$x = 2 - z$

したがって、$x = 2-z$, $y=0$ が解となります。

(2)の連立方程式を解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

3行目に1行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

2行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1/3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を加えます。

1行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1/3 \\ 0 & 1 & -1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後の行が$0=1$となり矛盾するため、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2-z$, $y=0$ （$z$は任意の実数）

(2) 解なし