ある地方政府が橋を建設する計画を立てている。橋の建設費用は3500万ドルで、維持費はかからない。住民は10万人おり、各住民の橋に関する需要曲線は $P = 120 - Q$ で表される。ここで、$P$ は通行料、$Q$ は通行回数である。 問題12では、首長が住民に350ドルの税金を課し、橋を無料で通行できるようにする提案をした場合、各住民が得る便益（消費者余剰から税金を引いたもの）を求める。 問題13では、橋が損失を被ることなく、通行料によって建設資金を調達する場合の、最低通行料を求める。通行料は1ドルから4ドルの間で0.5ドル刻みとする。

1. 問題の内容

ある地方政府が橋を建設する計画を立てている。橋の建設費用は3500万ドルで、維持費はかからない。住民は10万人おり、各住民の橋に関する需要曲線は $P = 120 - Q$ で表される。ここで、$P$ は通行料、$Q$ は通行回数である。

問題12では、首長が住民に350ドルの税金を課し、橋を無料で通行できるようにする提案をした場合、各住民が得る便益（消費者余剰から税金を引いたもの）を求める。

問題13では、橋が損失を被ることなく、通行料によって建設資金を調達する場合の、最低通行料を求める。通行料は1ドルから4ドルの間で0.5ドル刻みとする。

2. 解き方の手順

問題12：

まず、無料で橋を通行できる場合の各住民の消費者余剰を求める。通行料がゼロの時、需要曲線から通行回数 $Q$ が求まる。$P = 0$ を $P = 120 - Q$ に代入すると、$Q = 120$ となる。

消費者余剰は需要曲線と価格軸、そして価格（ここでは0）で囲まれた三角形の面積なので、

$CS = \frac{1}{2} \times (120 - 0) \times 120 = \frac{1}{2} \times 120 \times 120 = 7200$ ドルとなる。

次に、各住民が支払う税金350ドルを消費者余剰から引く。

$7200 - 350 = 6850$ ドルが各住民が得る便益である。

問題13：

橋の建設費用は3500万ドルなので、これを10万人の住民で賄う必要がある。

1人当たりの負担額は $35,000,000 / 100,000 = 350$ ドルとなる。

通行料を $P$ とすると、通行回数 $Q$ は $Q = 120 - P$ となる。

住民全体の通行料収入は、$100,000 \times P \times Q$ であり、これが3500万ドル以上になる必要がある。

つまり、$100,000 \times P \times (120 - P) \ge 35,000,000$。

これを整理すると、$P(120 - P) \ge 350$ となる。

$P$ の範囲は1ドルから4ドルの間で0.5ドル刻みなので、それぞれの値を代入して不等式を満たす最小の $P$ を探す。

* $P = 1.0$ のとき、$1.0 \times (120 - 1.0) = 119 < 350$

* $P = 1.5$ のとき、$1.5 \times (120 - 1.5) = 1.5 \times 118.5 = 177.75 < 350$

* $P = 2.0$ のとき、$2.0 \times (120 - 2.0) = 2.0 \times 118 = 236 < 350$

* $P = 2.5$ のとき、$2.5 \times (120 - 2.5) = 2.5 \times 117.5 = 293.75 < 350$

* $P = 3.0$ のとき、$3.0 \times (120 - 3.0) = 3.0 \times 117 = 351 > 350$

したがって、最低通行料は3.0ドルである。

3. 最終的な答え

問題12の答え：6850ドル

問題13の答え：3.0ドル