ある地方政府が橋を建設する計画を立てています。建設費用は3500万ドルで、維持費はかかりません。住民は10万人おり、各住民の橋に対する需要曲線は $P = 120 - Q$ で与えられています。ここで、$P$ は通行料、$Q$ は通行回数です。首長は、各住民から350ドルの一括税を徴収して橋を無料で通行できるようにする提案をしました。このとき、住民が橋から得る便益（消費者余剰から一括税を引いたもの）を求める問題(問題12)と、通行料を徴収することで建設資金を調達する対案が出された時、橋が損失を被ることなく課すことのできる最低通行料を、1ドルから4ドルの範囲で0.5ドル刻みで求める問題(問題13)の二つが出されています。

1. 問題の内容

ある地方政府が橋を建設する計画を立てています。建設費用は3500万ドルで、維持費はかかりません。住民は10万人おり、各住民の橋に対する需要曲線は $P = 120 - Q$ で与えられています。ここで、$P$ は通行料、$Q$ は通行回数です。首長は、各住民から350ドルの一括税を徴収して橋を無料で通行できるようにする提案をしました。このとき、住民が橋から得る便益（消費者余剰から一括税を引いたもの）を求める問題(問題12)と、通行料を徴収することで建設資金を調達する対案が出された時、橋が損失を被ることなく課すことのできる最低通行料を、1ドルから4ドルの範囲で0.5ドル刻みで求める問題(問題13)の二つが出されています。

2. 解き方の手順

**問題12:**

* 無料で橋を通行できる場合、$P = 0$ なので、需要曲線 $P = 120 - Q$ から $0 = 120 - Q$ となり、$Q = 120$ となります。

* 消費者余剰は、需要曲線と価格線 ($P=0$) で囲まれた三角形の面積で計算できます。

消費者余剰 = $\frac{1}{2} \times 120 \times 120 = 7200$ ドル

* 住民が橋から得る便益は、消費者余剰から一括税を引いたものです。

便益 = 消費者余剰 - 一括税 = $7200 - 350 = 6850$ ドル

**問題13:**

橋の建設費用は3500万ドルです。住民は10万人いるので、一人当たりに必要な金額は

$35000000 / 100000 = 350$ ドルです。つまり、通行料収入で１人あたり350ドルを回収する必要があります。

通行料を $P$ とすると、需要曲線は $P = 120 - Q$ です。

この式を $Q$ について解くと $Q = 120 - P$ となります。

一人当たりの通行料収入は $P \times Q = P \times (120 - P)$ です。

これが350ドル以上になる必要があるため、$P(120 - P) \geq 350$ を満たす最小の $P$ を探します。

$P(120 - P) = 120P - P^2 \geq 350$

$P^2 - 120P + 350 \leq 0$

この2次不等式を解く代わりに、1ドルから4ドルの範囲で0.5ドル刻みで $P(120-P)$ を計算し、350以上になる最小の $P$ を探します。

* $P = 1$ のとき: $1 \times (120 - 1) = 119$

* $P = 1.5$ のとき: $1.5 \times (120 - 1.5) = 1.5 \times 118.5 = 177.75$

* $P = 2$ のとき: $2 \times (120 - 2) = 2 \times 118 = 236$

* $P = 2.5$ のとき: $2.5 \times (120 - 2.5) = 2.5 \times 117.5 = 293.75$

* $P = 3$ のとき: $3 \times (120 - 3) = 3 \times 117 = 351$

* $P = 3.5$ のとき: $3.5 \times (120 - 3.5) = 3.5 \times 116.5 = 407.75$

* $P = 4$ のとき: $4 \times (120 - 4) = 4 \times 116 = 464$

3. 最終的な答え

問題12の答え：6850ドル

問題13の答え：3ドル