12冊の異なる本を、以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 5冊、4冊、3冊の3組に分ける。 (2) 4冊ずつ3人に分ける。 (3) 4冊ずつ3組に分ける。 (4) 6冊、3冊、3冊の3組に分ける。

1. 問題の内容

12冊の異なる本を、以下の方法で分ける場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 5冊、4冊、3冊の3組に分ける。

(2) 4冊ずつ3人に分ける。

(3) 4冊ずつ3組に分ける。

(4) 6冊、3冊、3冊の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 5冊、4冊、3冊の3組に分ける。

12冊から5冊を選ぶ方法: $_{12}C_5$

残りの7冊から4冊を選ぶ方法: $_7C_4$

残りの3冊から3冊を選ぶ方法: $_3C_3$

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_5 \times _7C_4 \times _3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!} = 27720$

(2) 4冊ずつ3人に分ける。

12冊から4冊を選び、1人目に渡す方法: $_{12}C_4$

残りの8冊から4冊を選び、2人目に渡す方法: $_8C_4$

残りの4冊から4冊を選び、3人目に渡す方法: $_4C_4$

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_4 \times _8C_4 \times _4C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{4!4!4!} = 34650$

(3) 4冊ずつ3組に分ける。

4冊ずつ3組に分ける方法は(2)と同様に$\frac{12!}{4!4!4!}$通りですが、区別しない3つの組に分けるため、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{12!}{4!4!4!} \times \frac{1}{3!} = \frac{34650}{6} = 5775$

(4) 6冊、3冊、3冊の3組に分ける。

12冊から6冊を選ぶ方法: $_{12}C_6$

残りの6冊から3冊を選ぶ方法: $_6C_3$

残りの3冊から3冊を選ぶ方法: $_3C_3$

3冊の組が2つあるので、$2!$で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_6 \times _6C_3 \times _3C_3 \times \frac{1}{2!} = \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} \times \frac{1}{2!} = \frac{12!}{6!3!3!2!} = 9240$

3. 最終的な答え

(1) 27720通り

(2) 34650通り

(3) 5775通り

(4) 9240通り