与えられた2次関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -x^2 - 4x + 1$ (2) $y = x^2 - 6x + 7$ (ただし、$0 \leq x \leq 4$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -x^2 - 4x + 1$

(2) $y = x^2 - 6x + 7$ (ただし、$0 \leq x \leq 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 4x + 1$ の場合:

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 4x) + 1$

$y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1$

$y = -(x + 2)^2 + 4 + 1$

$y = -(x + 2)^2 + 5$

この関数は上に凸な放物線で、頂点は $(-2, 5)$ です。したがって、最大値は $5$ ($x = -2$ のとき)。最小値は存在しません。

(2) $y = x^2 - 6x + 7$ ($0 \leq x \leq 4$) の場合:

まず、平方完成を行います。

$y = (x^2 - 6x) + 7$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 7$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 7$

$y = (x - 3)^2 - 2$

この関数は下に凸な放物線で、頂点は $(3, -2)$ です。

定義域 $0 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。

頂点 $x = 3$ は定義域に含まれています。

$x = 3$ のとき、$y = -2$ (最小値)

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

よって、最大値は $7$ ($x = 0$ のとき)で、最小値は $-2$ ($x = 3$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: なし

(2) 最大値: 7, 最小値: -2