与えられた3つの式について、根号をはずして、式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$ (2) $\sqrt{a^2b^6}$ (ただし、$a < 0$, $b > 0$) (3) $\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、根号をはずして、式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$

(2) $\sqrt{a^2b^6}$ (ただし、$a < 0$, $b > 0$)

(3) $\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$について：

一般に$\sqrt{x^2} = |x|$です。

$2 \approx 2$で、$\pi \approx 3.14$なので、$2-\pi < 0$です。

したがって、$\sqrt{(2-\pi)^2} = |2-\pi| = -(2-\pi) = \pi - 2$となります。

(2) $\sqrt{a^2b^6}$について：

$\sqrt{a^2b^6} = \sqrt{a^2}\sqrt{b^6} = |a||b^3|$です。

$a < 0$なので、$|a| = -a$です。

$b > 0$なので、$|b^3| = b^3$です。

したがって、$\sqrt{a^2b^6} = -ab^3$となります。

(3) $\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}$について：

$\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

$\sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$

したがって、$\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4} = |x-1|-|x+2|$となります。

場合分けをします。

- $x < -2$ のとき: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$

よって、$(1-x) - (-x-2) = 1-x+x+2 = 3$

- $-2 \leq x < 1$ のとき: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x+2| = x+2$

よって、$(1-x) - (x+2) = 1-x-x-2 = -2x-1$

- $1 \leq x$ のとき: $|x-1| = x-1$, $|x+2| = x+2$

よって、$(x-1) - (x+2) = x-1-x-2 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\pi - 2$

(2) $-ab^3$

(3) $|x-1| - |x+2|$

場合分けをして表すと、

$x < -2$ のとき: $3$

$-2 \leq x < 1$ のとき: $-2x-1$

$1 \leq x$ のとき: $-3$

となります。