2次関数 $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) グラフが点(2, -4)を通るとき、$k$ の値を求めます。 (2) $k=2$ のとき、グラフを $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に -5 だけ平行移動したグラフの式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で表します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) グラフが点(2, -4)を通るとき、$k$ の値を求めます。

(2) $k=2$ のとき、グラフを $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に -5 だけ平行移動したグラフの式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で表します。

2. 解き方の手順

(1) グラフが点(2, -4)を通るということは、$x = 2$, $y = -4$ を $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ に代入すると等式が成り立つということです。

$x = 2$, $y = -4$ を代入して $k$ についての方程式を立て、それを解きます。

$-4 = 2^2 + k(2) + 3(k-1)$

$-4 = 4 + 2k + 3k - 3$

$-4 = 5k + 1$

$5k = -5$

$k = -1$

(2) $k = 2$ を $y = x^2 + kx + 3(k-1)$ に代入すると、$y = x^2 + 2x + 3(2-1) = x^2 + 2x + 3$ となります。

このグラフを $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に -5 だけ平行移動することを考えます。

まず、平方完成して頂点を求めます。

$y = x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2$

よって、頂点は $(-1, 2)$ です。

これを $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に -5 だけ平行移動すると、頂点は $(-1+3, 2-5) = (2, -3)$ となります。

平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないので、平行移動後のグラフの式は $y = (x-2)^2 - 3$ と表せます。

これを展開して、$y = ax^2 + bx + c$ の形にします。

$y = (x-2)^2 - 3$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 3$

$y = x^2 - 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $k = -1$

(2) $y = x^2 - 4x + 1$