図に示す「コ」型断面について、以下の問いに答えます。 (1) 図心がG(3,2)であることを示します。 (2) 図心Gを通り、x軸に平行なG-G軸に関する断面2次モーメント $I_G$ を求めます。 (3) x軸に関する断面2次モーメント $I_x$ を求めます。 (4) 上縁(y=5)と下縁(y=0)に関する断面係数 $Z_5$ と $Z_0$ をそれぞれ求めます。

はい、承知しました。問題の解法を説明します。

1. 問題の内容

図に示す「コ」型断面について、以下の問いに答えます。

(1) 図心がG(3,2)であることを示します。

(2) 図心Gを通り、x軸に平行なG-G軸に関する断面2次モーメント $I_G$ を求めます。

(3) x軸に関する断面2次モーメント $I_x$ を求めます。

(4) 上縁(y=5)と下縁(y=0)に関する断面係数 $Z_5$ と $Z_0$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 図心の計算

図形を3つの長方形に分割します。

長方形1：x=0からx=3, y=1からy=5。面積 $A_1 = 3 \times 4 = 12$。図心 $G_1 = (1.5, 3)$

長方形2：x=3からx=4, y=0からy=5。面積 $A_2 = 1 \times 5 = 5$。図心 $G_2 = (3.5, 2.5)$

長方形3：x=4からx=6, y=0からy=1。面積 $A_3 = 2 \times 1 = 2$。図心 $G_3 = (5, 0.5)$

全体の面積 $A = A_1 + A_2 + A_3 = 12 + 5 + 2 = 19$

図心のx座標 $x_G = (A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3) / A = (12 \times 1.5 + 5 \times 3.5 + 2 \times 5) / 19 = (18 + 17.5 + 10) / 19 = 45.5 / 19 = 2.39 \approx 2.4$

図心のy座標 $y_G = (A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3) / A = (12 \times 3 + 5 \times 2.5 + 2 \times 0.5) / 19 = (36 + 12.5 + 1) / 19 = 49.5 / 19 = 2.61 \approx 2.6$

テキストの図心位置と少し異なります。テキストの図心はG(3,2)と記載されていますが計算から求められた図心はG(2.4, 2.6)となりました。

(2) G-G軸に関する断面2次モーメント $I_G$ の計算

各長方形について、図心G周りの断面2次モーメントを計算します。平行軸の定理を用います。$I = I_0 + Ad^2$

長方形1：$I_{01} = (3 \times 4^3)/12 = 16$。$d_1 = |2.6 - 3| = 0.4$。$I_1 = 16 + 12 \times (0.4)^2 = 16 + 1.92 = 17.92$

長方形2：$I_{02} = (1 \times 5^3)/12 = 125/12 = 10.42$。$d_2 = |2.6 - 2.5| = 0.1$。$I_2 = 10.42 + 5 \times (0.1)^2 = 10.42 + 0.05 = 10.47$

長方形3：$I_{03} = (2 \times 1^3)/12 = 1/6 = 0.17$。$d_3 = |2.6 - 0.5| = 2.1$。$I_3 = 0.17 + 2 \times (2.1)^2 = 0.17 + 8.82 = 8.99$

$I_G = I_1 + I_2 + I_3 = 17.92 + 10.47 + 8.99 = 37.38$

(3) x軸に関する断面2次モーメント $I_x$ の計算

各長方形について、x軸周りの断面2次モーメントを計算します。

長方形1：$I_{x1} = (3 \times (5^3-1^3))/3 = (3 \times (125 - 1))/3 = 124$

長方形2：$I_{x2} = (1 \times 5^3)/3 = 125/3 = 41.67$

長方形3：$I_{x3} = (2 \times 1^3)/3 = 2/3 = 0.67$

$I_x = I_{x1} + I_{x2} + I_{x3} = 124 + 41.67 + 0.67 = 166.34$

(4) 断面係数 $Z_5$ と $Z_0$ の計算

$Z_5 = I_x / (5 - y_G) = 166.34 / (5 - 2.6) = 166.34 / 2.4 = 69.31$

$Z_0 = I_x / y_G = 166.34 / 2.6 = 64.00$

3. 最終的な答え

(1) 図心G(2.4, 2.6)

(2) $I_G = 37.38 cm^4$

(3) $I_x = 166.34 cm^4$

(4) $Z_5 = 69.31 cm^3$, $Z_0 = 64.00 cm^3$