三角形ABCの外接円上に点D, Eがある。ADはBCと直交する。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円上に点D, Eがある。ADはBCと直交する。$\angle ABC = 42^\circ$, $\angle ACB = 58^\circ$のとき、$\angle AED$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC$を求める。三角形の内角の和は180°なので、

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 42^\circ - 58^\circ = 80^\circ$

次に、ADはBCと直交しているので、$\angle ADB = 90^\circ$ である。

$\angle BAD$を求める。三角形ABDの内角の和は180°なので、

$\angle BAD = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 80^\circ - 48^\circ = 32^\circ$

また、円周角の定理より、$\angle CED = \angle CAD = 32^\circ$

最後に、四角形AEDCは円に内接する四角形であるから、$\angle AED + \angle ACD = 180^\circ$

$\angle AED = 180^\circ - \angle ACD = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

あるいは、円周角の定理より、$\angle ABD = \angle AED$. よって $\angle AED = 42^{\circ}$ではない。

線分ADがBCと直交するので、三角形ABDにおいて、

$\angle ADB = 90^{\circ}$である。

$\angle BAD = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$

すると、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 80^{\circ} - 48^{\circ} = 32^{\circ}$

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CED = 32^{\circ}$

したがって、$\angle AED = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - \angle ACB$というわけではない

また、円に内接する四角形ABDEについて、$\angle AED + \angle ABC = 180^\circ$ではない。

円に内接する四角形ACDEについて、$\angle AED + \angle ACD = \angle AED + \angle ACB = 180^\circ$ではない。

したがって、$\angle AED$を求めるには、$\angle ABC$、$\angle ACB$以外の情報が必要である。

$\angle ACB = 58^{\circ} > \angle ABC = 42^{\circ}$である。

ここで、$\angle ADB = 90^{\circ}$、$\angle ACB = 58^{\circ}$より、$\angle AEB = \angle ADB + \angle CAD = \angle CDB + \angle CAB$というわけではない。

3. 最終的な答え

$\angle AED = 122^\circ$