常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の問いに答えます。 (1) $18^{49}$ は何桁の自然数か、また最高位の数字は何か。 (2) $(\frac{15}{32})^{15}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその数字は何か。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の問いに答えます。

(1) $18^{49}$ は何桁の自然数か、また最高位の数字は何か。

(2) $(\frac{15}{32})^{15}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその数字は何か。

2. 解き方の手順

(1)

桁数を求めるには、常用対数をとります。

$\log_{10} 18^{49} = 49 \log_{10} 18 = 49 \log_{10} (2 \cdot 3^2) = 49 (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3)$

$= 49 (0.3010 + 2 \cdot 0.4771) = 49 (0.3010 + 0.9542) = 49(1.2552) = 61.5048$

したがって、$18^{49}$ は $61 + 1 = 62$ 桁の自然数です。

最高位の数字を求めるには、$\log_{10} 18^{49}$ の小数部分を用います。小数部分は $0.5048$ です。

$\log_{10} 3 = 0.4771 < 0.5048 < 0.6020 = \log_{10} 4$

したがって、最高位の数字は $3$ です。

(2)

$(\frac{15}{32})^{15}$ の常用対数をとります。

$\log_{10} (\frac{15}{32})^{15} = 15 \log_{10} (\frac{15}{32}) = 15 (\log_{10} 15 - \log_{10} 32) = 15 (\log_{10} (3 \cdot 5) - \log_{10} 2^5)$

$= 15 (\log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 5 \log_{10} 2) = 15 (\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2} - 5 \log_{10} 2)$

$= 15 (\log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2 - 5 \log_{10} 2) = 15 (0.4771 + 1 - 0.3010 - 5(0.3010))$

$= 15 (1.4771 - 0.3010 - 1.5050) = 15(1.4771 - 1.8060) = 15(-0.3289) = -4.9335$

$\log_{10} (\frac{15}{32})^{15} = -4.9335 = -5 + (1 - 0.9335) = -5 + 0.0665$

$\log_{10} 1 = 0$

$\log_{10} 2 = 0.3010$

$0.0665 < 0.3010$ なので、 $(\frac{15}{32})^{15}$ は小数第 5 位に初めて 0 でない数字が現れます。

$0.0665 = \log_{10} x$ とおくと、$x = 10^{0.0665}$

$0 < 0.0665 < 0.3010 = \log_{10} 2$ なので、 $1 < x < 2$ となり、小数第5位の数字は $1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 62 桁, 3

(2) 5 位, 1