2つの円O, Pがあり、3点A, B, Pは円Oの周上にあります。$\angle AOB = 156^\circ$です。定規のみを用いて、3点C, D, Eが円Pの周上にあり、$\angle CDE = 129^\circ$を満たす四角形PCDEを一つ作図してください。

1. 問題の内容

2つの円O, Pがあり、3点A, B, Pは円Oの周上にあります。$\angle AOB = 156^\circ$です。定規のみを用いて、3点C, D, Eが円Pの周上にあり、$\angle CDE = 129^\circ$を満たす四角形PCDEを一つ作図してください。

2. 解き方の手順

(1) 円Oの中心角$\angle AOB = 156^\circ$ より、円周角 $\angle APB$ は中心角の半分なので、$\angle APB = \frac{156^\circ}{2} = 78^\circ$ となります。

(2) 四角形PCDEは円Pに内接するので、$\angle PCE = 180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ$ となります。

(3) 点Pを中心として、半直線PAに関して、$\angle CPA = 51^\circ \times 2 = 102^\circ$ となるように点Cを円P上に取ります。このとき、$\angle PCE = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$となります。

(点Cの位置を作図するには、まず線分PAを引き、適当な点O'を中心とする円を描き、その円周上に点C'を $\angle PO'A = 102^\circ$ となるようにとります。そして、線分PO'と線分PAのなす角が$\angle 102^\circ$ となるように、線分PCを引きます。)

(4) 点Pを中心として、半直線PBに関して、$\angle EPB = 51^\circ \times 2 = 102^\circ$ となるように点Eを円P上に取ります。このとき、$\angle PCE = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$となります。

(点Eの位置を作図するには、まず線分PBを引き、適当な点O'を中心とする円を描き、その円周上に点E'を $\angle PO'B = 102^\circ$ となるようにとります。そして、線分PO'と線分PBのなす角が$\angle 102^\circ$ となるように、線分PEを引きます。)

(5) 円P上に点Dを、$\angle CDE = 129^\circ$ となるように取ります。円周角の定理より、$\angle CPE = 2 \times (180^\circ - \angle CDE) = 2 \times (180^\circ - 129^\circ) = 2 \times 51^\circ = 102^\circ$

$\angle CPE = \angle CPD + \angle DPE = 102^\circ$

よって、点Dは線分PEと線分PCを結んだ円弧上に存在します。

(6) 点C, D, Eを結び、四角形PCDEを作図します。

3. 最終的な答え

問題文の条件を満たす四角形PCDEを作図する。 (作図方法は上記の手順を参照。)