$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $BC = 2\sqrt{5}$, $\angle ABC = 90^{\circ}$ である。 (1) $AC$ の長さを求めよ。 (2) 点 $B$ を端点とする半直線 $BC$ 上に $B$ と異なる点 $O$ をとり、$O$ を中心とし、$B$ を通る円 $O$ を考える。円 $O$ が直線 $AC$ に接するとき、$\triangle ABC$ のある点が直線 $AO$ 上にある。その点を解答群から選び、さらに $BO:OC$ を求めよ。最後に、円 $O$ の半径を求めよ。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $BC = 2\sqrt{5}$, $\angle ABC = 90^{\circ}$ である。

(1) $AC$ の長さを求めよ。

(2) 点 $B$ を端点とする半直線 $BC$ 上に $B$ と異なる点 $O$ をとり、$O$ を中心とし、$B$ を通る円 $O$ を考える。円 $O$ が直線 $AC$ に接するとき、$\triangle ABC$ のある点が直線 $AO$ 上にある。その点を解答群から選び、さらに $BO:OC$ を求めよ。最後に、円 $O$ の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AC$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ は直角三角形であるから、三平方の定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$

$AC = \sqrt{36} = 6$

(2) 円 $O$ が直線 $AC$ に接するとき、$AC$ は円 $O$ の接線となる。接点 $P$ とすると、$OP \perp AC$ となる。

$\triangle ABC$ の内心は各内角の二等分線の交点であり、内心から各辺に下ろした垂線の長さは等しい。円$O$の半径と線分$OP$の長さは等しいので、$\triangle ABC$の内心が直線$AO$上にあり、円$O$と直線$AC$が接すると考えられる。

したがって、解答群から選ぶべき点は内心である。

内心を$I$とすると、$I$から辺$AB, BC, CA$に下ろした垂線の足はそれぞれ点$D, E, F$となる。

$ID=IE=IF=r$とすると、$\triangle ABC$の面積$S$は

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

$S = \frac{1}{2} (AB + BC + CA)r = \frac{1}{2} (4+2\sqrt{5}+6)r = (5+\sqrt{5})r$

よって、$(5+\sqrt{5})r = 4\sqrt{5}$

$r = \frac{4\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{20\sqrt{5}-20}{25-5} = \frac{20(\sqrt{5}-1)}{20} = \sqrt{5} - 1$

$BO = x$ とすると、$OC = 2\sqrt{5} - x$ であり、$BO:OC = x:(2\sqrt{5}-x)$ となる。

また、$OP = r = \sqrt{5}-1$

ここで、$AI$は$\angle BAC$の二等分線であるから、角の二等分線の性質より

$BI:IC = AB:AC = 4:6 = 2:3$

したがって、内心は角の二等分線上にある。

したがって、点$O$は内心$I$と一致する。よって$r=BO = \sqrt{5}-1$。

$BO = r$だから、$OC = BC - BO = 2\sqrt{5} - r$

$BO:OC = r : (2\sqrt{5} - r) = (\sqrt{5}-1) : (2\sqrt{5} - (\sqrt{5}-1)) = (\sqrt{5}-1) : (\sqrt{5}+1)$

$= (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1) : (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = (5-2\sqrt{5}+1) : (5-1) = (6-2\sqrt{5}):4 = (3-\sqrt{5}):2$

円 $O$ の半径は $r = \sqrt{5}-1 = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{3} = \frac{3\sqrt{5}-3}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{2}$

また、$AC$に接している時，$OB$が$r$だから、$r=x$

$x \times 2 \sqrt{5} = 16$ が成り立つとき $x = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ である。

この時$BO : OC = (\frac{8 \sqrt{5}}{5}) : (2 \sqrt{5} - \frac{8 \sqrt{5}}{5}) = (\frac{8 \sqrt{5}}{5}) : (\frac{2 \sqrt{5}}{5}) = 4:1$

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: ① 内心

ウ: 4

エ: 1

オ: 2

カ: $\sqrt{5}$

キ: 5