$\theta$ が鋭角で、$\tan{\theta} = \sqrt{2}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\tan{\theta} = \sqrt{2}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であることと、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ であることを利用します。

$\tan{\theta} = \sqrt{2}$ より、$\sin{\theta} = \sqrt{2}\cos{\theta}$ が成り立ちます。

これを $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ に代入すると、

$(\sqrt{2}\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$2\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$3\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{3}$

$\cos{\theta} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos{\theta} > 0$ より、

$\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin{\theta} = \sqrt{2}\cos{\theta}$ より、

$\sin{\theta} = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$