三角形$ABC$の外側に、各辺を一辺とする正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$を作る。$AB=3$, $BC=4$, $CA=3$であるとき、六角形$PQRSTU$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形$ABC$の外側に、各辺を一辺とする正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$を作る。$AB=3$, $BC=4$, $CA=3$であるとき、六角形$PQRSTU$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

六角形$PQRSTU$の面積は、3つの正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$と三角形$ABC$の面積の和で表される。

三角形$ABC$は$AB=CA=3$の二等辺三角形であり、底辺$BC=4$である。

この三角形の高さ$h$を求める。底辺$BC$の中点を$M$とすると、$AM$が高さとなる。

$AM^2 + BM^2 = AB^2$より、$h^2 + 2^2 = 3^2$なので、$h^2 = 9 - 4 = 5$となり、$h = \sqrt{5}$となる。

よって、三角形$ABC$の面積は、

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3つの正方形の面積は、

$S_{PQBA} = AB^2 = 3^2 = 9$

$S_{RSCB} = BC^2 = 4^2 = 16$

$S_{TUAC} = CA^2 = 3^2 = 9$

したがって、六角形$PQRSTU$の面積は、

$S_{PQRSTU} = S_{\triangle ABC} + S_{PQBA} + S_{RSCB} + S_{TUAC} = 2\sqrt{5} + 9 + 16 + 9 = 34 + 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$34 + 2\sqrt{5}$