三角形$ABC$の外側に、各辺を一辺にもつ正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$を作る。$AB = 3$, $BC = 4$, $CA = 3$であるとき、六角形$PQRSTU$の面積を求める。

1. 問題の内容

三角形$ABC$の外側に、各辺を一辺にもつ正方形$PQBA$, $RSCB$, $TUAC$を作る。$AB = 3$, $BC = 4$, $CA = 3$であるとき、六角形$PQRSTU$の面積を求める。

2. 解き方の手順

六角形$PQRSTU$の面積は、三角形$ABC$の面積と3つの正方形の面積の和に、3つの三角形（$\triangle AUP$, $\triangle BQP$, $\triangle CRS$）の面積を加えたものになる。

まず、三角形$ABC$の面積を求める。三角形$ABC$は$AB = CA = 3$の二等辺三角形である。底辺$BC$の中点を$M$とすると、$AM$は$BC$に垂直である。$BM = MC = 2$なので、$AM = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$となる。

したがって、三角形$ABC$の面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$である。

次に、3つの正方形の面積を求める。

正方形$PQBA$の面積は、$AB^2 = 3^2 = 9$

正方形$RSCB$の面積は、$BC^2 = 4^2 = 16$

正方形$TUAC$の面積は、$CA^2 = 3^2 = 9$

したがって、3つの正方形の面積の和は、$9 + 16 + 9 = 34$である。

次に、3つの三角形の面積を求める。

$\triangle AUP$について、$AU = AC = 3$, $AP = AB = 3$, $\angle UAP = 90^\circ + \angle BAC$である。

$\triangle BQP$について、$BQ = BA = 3$, $BP = BC = 4$, $\angle QBP = 90^\circ + \angle ABC$である。

$\triangle CRS$について、$CR = CB = 4$, $CS = CA = 3$, $\angle RCS = 90^\circ + \angle BCA$である。

これらの3つの三角形の面積の合計は、$\frac{1}{2}AU \cdot AP \sin(\angle UAP) + \frac{1}{2}BQ \cdot BR \sin(\angle QBR) + \frac{1}{2}CR \cdot CS \sin(\angle RCS)$となる。

三角形$AUP, BQP, CRS$ の面積はそれぞれ、

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin(90^\circ+\angle BAC) + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(90^\circ + \angle ABC) + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin(90^\circ + \angle BCA)$

$= \frac{9}{2} \cos(\angle BAC) + 6 \cos(\angle ABC) + 6 \cos(\angle BCA)$となる。

ここで、余弦定理より、$\cos(\angle BAC) = \frac{3^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$, $\cos(\angle ABC) = \frac{3^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$, $\cos(\angle BCA) = \frac{3^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

したがって、3つの三角形の面積の合計は、$\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{2}{3} + 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + 4 + 4 = \frac{17}{2} = 8.5$となる。

六角形$PQRSTU$の面積は、$2\sqrt{5} + 34 + 8.5 = 42.5 + 2\sqrt{5}$となる。

3. 最終的な答え

六角形PQRSTUの面積は $42.5 + 2\sqrt{5}$