鋭角三角形ABCにおいて、辺BCの長さは8cm、面積は16cm²である。辺BCに平行な直線が辺AB, ACとそれぞれ点P, Qで交わる。PQの長さを$x$ cmとする。PQを1辺とする正方形PQRSをAと反対側に作り、この正方形と三角形ABCとの共通部分の面積を$y$ cm²とする。$y$を$x$の式で表す。

1. 問題の内容

鋭角三角形ABCにおいて、辺BCの長さは8cm、面積は16cm²である。辺BCに平行な直線が辺AB, ACとそれぞれ点P, Qで交わる。PQの長さを$x$ cmとする。PQを1辺とする正方形PQRSをAと反対側に作り、この正方形と三角形ABCとの共通部分の面積を$y$ cm²とする。$y$を$x$の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの高さを求めます。面積は底辺×高さ÷2で計算されるので、高さを$h$とすると、

$8 \times h \div 2 = 16$

$4h = 16$

$h = 4$

よって、三角形ABCの高さは4cmです。

次に、正方形PQRSの1辺の長さが$x$ cmなので、正方形の面積は$x^2$ cm²です。

正方形が三角形ABCと重なる部分の面積$y$を求めます。

三角形ABCと正方形PQRSの位置関係を考えます。正方形の辺PQが三角形の辺BCに平行なので、三角形APQと三角形ABCは相似です。三角形APQの高さを$h'$とすると、相似比から

$x:8 = h':4$

$h' = \frac{4x}{8} = \frac{x}{2}$

したがって、正方形PQRSと三角形ABCの共通部分は、正方形PQRS自身である条件は、正方形が三角形に完全に含まれるときなので、$h' \ge x$の時です。つまり、$x/2 \ge x$となることはないので、三角形APQの中に正方形が入ることはありません。

$h-x \ge 0$ の条件を考えます。$x\le4$ ならば、正方形は三角形ABCに含まれます。

$x>4$ ならば、正方形が完全に含まれることはありません。

$x$の範囲によって場合分けが必要です。

(1) $0 < x \le 4$ のとき、正方形PQRSは三角形ABCの中に完全に含まれるので、$y=x^2$です。

(2) $4 < x < 8$ のとき、正方形PQRSの一部が三角形ABCの外に出るので、共通部分の面積は正方形の面積$x^2$にはなりません。正方形と三角形の共通部分は、正方形から三角形からはみ出た部分を引いた面積になります。はみ出た部分の面積は、三角形ABCと相似な三角形の面積です。相似比を考慮して計算する必要があります。

共通部分の面積は $y=x^2$ とはなりません。

三角形ABCと正方形PQRSの重なる部分の面積は、$y = x^2$である。

3. 最終的な答え

$y = x^2$ ($0<x\leq4$)