円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB = 24, BD = 21, DA = 9, BC = CDである。 (1) ∠BAD, ∠BAC, BCを求める。 (2) 円Oの周上に、CE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, ∠CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB = 24, BD = 21, DA = 9, BC = CDである。

(1) ∠BAD, ∠BAC, BCを求める。

(2) 円Oの周上に、CE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, ∠CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、△ABDについて余弦定理を用いると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$21^2 = 24^2 + 9^2 - 2 \cdot 24 \cdot 9 \cdot \cos{\angle BAD}$

$441 = 576 + 81 - 432 \cdot \cos{\angle BAD}$

$432 \cdot \cos{\angle BAD} = 216$

$\cos{\angle BAD} = \frac{216}{432} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle BAD = 60^\circ$。

次に、△ABDについて、$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = 2R$より、$2R = \frac{21}{\sin{60^\circ}} = \frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$。

円Oの半径は$R = 7\sqrt{3}$となる。

次に、△ABCについて考える。BC = CDなので、∠BAC = ∠DACとなる。$\angle BAD = 60^\circ$より、∠BAC = ∠DAC = 30°。

最後に、△ABCについて余弦定理を用いると、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

また、△ADCについても同様に考えると、

$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos{\angle DAC}$

BC = CDより、$BC^2 = CD^2$なので、

$AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC} = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos{\angle DAC}$

$24^2 + AC^2 - 2 \cdot 24 \cdot AC \cdot \cos{30^\circ} = 9^2 + AC^2 - 2 \cdot 9 \cdot AC \cdot \cos{30^\circ}$

$576 - 48AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 81 - 18AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$495 = 30AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC = \frac{495}{15\sqrt{3}} = \frac{33}{\sqrt{3}} = 11\sqrt{3}$

△ABCにおいて、余弦定理より、

$BC^2 = 24^2 + (11\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 24 \cdot 11\sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}$

$BC^2 = 576 + 363 - 528\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 939 - 528 \cdot \frac{3}{2} = 939 - 792 = 147$

$BC = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$

(2)

CE⊥BDより、∠BEC = 90°。

円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 30^\circ$。

また、$\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ$。

△BCEにおいて、$\angle BCE = 90^\circ - \angle CBE$。

$\angle BCE = \angle BDE$

$\angle DBE = \angle DAE = \angle DAC + \angle CAE = \angle BAC + \angle CAE$

$\angle CBE$

CE⊥BDより$\angle BEC=90^\circ$なので、円の中心を通り、直径である。

$\angle CDB = \angle CAB = 30^\circ$

$\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ$

従って、$CD=BC=7\sqrt{3}$.

$\angle CBE = 60^\circ$

$CE = BC \cos{\angle BCE} = 7\sqrt{3} \cos{\angle DBC}= BC\cdot \cos{30^\circ}=21/2\times \sqrt{3} =\frac{14\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}=\frac{21}{2}\sqrt{3}$

$BE = BC \sin{\angle BCE} = \frac{21}{2}$

四角形CBEDの面積は、$\triangle BCD + \triangle BDE$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin{\angle BCD}$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{147\sqrt{3}}{4}$

$DE = \sqrt{BE \cdot \frac{21}{4}= \sqrt{3}/2}$

$\triangle BDE = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BE =\frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} BE DE sin BEC$

$\triangle BCD=\frac{1}{2}BC CD \sin BCD=\frac{1}{2}*7 \sqrt{3} 7 \sqrt{3}= \sin(60)*

3. 最終的な答え

13: ウ

14: イ

15: エ

16: ア

17: ア

18: ア