円Oに内接する四角形ABCDがある。AB=24, BD=21, DA=9, BC=CDである。 (1) ∠BAD, ∠BAC, BCを求める。 (2) 円Oの周上に、CE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, ∠CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがある。AB=24, BD=21, DA=9, BC=CDである。

(1) ∠BAD, ∠BAC, BCを求める。

(2) 円Oの周上に、CE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, ∠CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠BADの計算:

△ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos(\angle BAD)$

$21^2 = 24^2 + 9^2 - 2 \cdot 24 \cdot 9 \cos(\angle BAD)$

$441 = 576 + 81 - 432 \cos(\angle BAD)$

$432 \cos(\angle BAD) = 576 + 81 - 441 = 216$

$\cos(\angle BAD) = \frac{216}{432} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle BAD = 60^\circ$

∠BACの計算:

△ABDにおいて、正弦定理より

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$

$\frac{21}{\sin(60^\circ)} = \frac{9}{\sin(\angle ABD)}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{9 \sin(60^\circ)}{21} = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{21} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$

△ABCにおいて、BC = CDなので、∠BAC = ∠DAC

$\angle BAC = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

BCの計算:

△ABCにおいて、正弦定理より

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$

ここで、$\angle ACB = \angle ADB$なので、$\sin(\angle ACB) = \sin(\angle ADB)$

△ABDにおいて、

$\sin(\angle ADB) = \frac{AB \sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{21} = \frac{12\sqrt{3}}{21} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

したがって、

$BC = \frac{AB \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{24 \cdot \sin(30^\circ)}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{24 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{12}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{12 \cdot 7}{4\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 7}{\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3}$

(2) CEの計算:

CE⊥BDより、△BCEは直角三角形ではない。

CE⊥BD, BC=CDより、BDは∠BCAの二等分線。∠BCA＝2∠BDAであるため

BC=CDだから、∠CBD＝∠CBE

∠BCA = 2∠BDA。∠BAC=∠DAC=30°　∠BAD = 60°

△BCDは二等辺三角形なので、∠CBD = ∠CDB。∠BCD=180-2∠CBD

円周角の定理より∠CBD = ∠CAD = 30°

∠CBE = 30°

△CEDにおいて、∠CED = ∠CBD = 30° (円周角の定理)

CE⊥BDより、∠CEB=90°

△BCEについてsin 30°= CE/BC　より　CE＝BC * sin(30) = 7√3 *1/2 = (7√3)/2

△ABDの面積 = (1/2)*9*24*sin 60 = 54√3

△BCDの面積 = (1/2)*(7√3)*(7√3)* sin(120) = (1/2)*(49*3)* (√3)/2 = (147√3)/4

四角形ABCDの面積 = 54√3 + (147√3)/4 = (216√3+147√3)/4 = (363√3)/4

∠CED = 30°、CE⊥BD、　∴CE = BC sin(30°) = (7√3)/2

四角形CBED = △BCD + △CED

CE = 21/2

3. 最終的な答え

13: ウ. 60°

14: イ. 30°

15: エ. 7√3

16: エ. (21√3)/2

17: イ. 30°

18: 147√3/2