不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x+1}$ が定義される条件から、$x+1 \geq 0$、つまり $x \geq -1$。

(2) $-x+5 < 0$、つまり $x > 5$ のとき、$\sqrt{x+1} \geq 0 > -x+5$ なので、$x > 5$ は解となる。

(3) $-x+5 \geq 0$、つまり $x \leq 5$ のとき、両辺を2乗する。

$(\sqrt{x+1})^2 \geq (-x+5)^2$

$x+1 \geq x^2 - 10x + 25$

$0 \geq x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 \leq 0$

$(x-3)(x-8) \leq 0$

$3 \leq x \leq 8$

(4) (1) より $x \geq -1$ である必要があり、(3) より $3 \leq x \leq 8$ である必要がある。

よって、$3 \leq x \leq 5$ の範囲で、条件 $x \leq 5$ を満たす $x$ は、$3 \leq x \leq 5$ となる。

また、(2) より $x > 5$ は解である。

(5) 以上の結果を合わせると、$3 \leq x \leq 5$ または $x > 5$。したがって、$x \geq 3$。

3. 最終的な答え

$x \geq 3$