不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x+1}$ が定義される条件を考えます。

$x+1 \ge 0$ より、 $x \ge -1$ です。

次に、不等式の両辺が0以上になる場合に絞って考えます。

$\sqrt{x+1} \ge 0$ なので、 $-x+5 > 0$ が必要です。

よって、 $x < 5$。

この段階で、 $-1 \le x < 5$ が必要条件となります。

不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{x+1})^2 < (-x+5)^2$

$x+1 < x^2 -10x + 25$

$0 < x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 = (x-3)(x-8) > 0$ を解きます。

この不等式が成り立つのは、$x < 3$ または $x > 8$ のときです。

以上の結果をまとめます。

(1) $x \ge -1$

(2) $x < 5$

(3) $x < 3$ または $x > 8$

(1)と(2)より$-1 \le x < 5$であり、

(3)より$x < 3$ または $x > 8$。

したがって、$-1 \le x < 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-1 \le x < 3$