問題は、与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) 点 (4, 3), 直線 $x - 2y + 7 = 0$ (2) 点 (3, -1), 直線 $2x - y + 13 = 0$ (3) 点 (-2, 3), 直線 $3x + 4y + 9 = 0$ (4) 点 (-1, 2), 直線 $x - 3y + 1 = 0$

1. 問題の内容

問題は、与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) 点 (4, 3), 直線 $x - 2y + 7 = 0$

(2) 点 (3, -1), 直線 $2x - y + 13 = 0$

(3) 点 (-2, 3), 直線 $3x + 4y + 9 = 0$

(4) 点 (-1, 2), 直線 $x - 3y + 1 = 0$

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

それぞれの問題について、この公式を適用して距離を計算します。

(1) 点 (4, 3), 直線 $x - 2y + 7 = 0$

$x_0 = 4, y_0 = 3, a = 1, b = -2, c = 7$ を公式に代入します。

$d = \frac{|1 \cdot 4 + (-2) \cdot 3 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 - 6 + 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(2) 点 (3, -1), 直線 $2x - y + 13 = 0$

$x_0 = 3, y_0 = -1, a = 2, b = -1, c = 13$ を公式に代入します。

$d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) + 13|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 1 + 13|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|20|}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

(3) 点 (-2, 3), 直線 $3x + 4y + 9 = 0$

$x_0 = -2, y_0 = 3, a = 3, b = 4, c = 9$ を公式に代入します。

$d = \frac{|3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 + 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-6 + 12 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

(4) 点 (-1, 2), 直線 $x - 3y + 1 = 0$

$x_0 = -1, y_0 = 2, a = 1, b = -3, c = 1$ を公式に代入します。

$d = \frac{|1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-1 - 6 + 1|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}$

(2) $4\sqrt{5}$

(3) $3$

(4) $\frac{3\sqrt{10}}{5}$