与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の3点を示す問題です。 (1) $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続であること。 (2) $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続であること。 (3) $f_{xy}(x, y)$ と $f_{yx}(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で不連続であること。ただし、$f_{xy}(x, 0)$ と $f_{yx}(0, y)$ を求めることによって示す。 なお、$f(x,y)$ の定義は例題3を参照する必要がありますが、ここでは、$f(x,y)$ が以下の関数であると仮定して解答します。 $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の3点を示す問題です。

(1) $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続であること。

(2) $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続であること。

(3) $f_{xy}(x, y)$ と $f_{yx}(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で不連続であること。ただし、$f_{xy}(x, 0)$ と $f_{yx}(0, y)$ を求めることによって示す。

なお、$f(x,y)$ の定義は例題3を参照する必要がありますが、ここでは、$f(x,y)$ が以下の関数であると仮定して解答します。

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f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

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2. 解き方の手順

(1) $f(x,y)$ が原点 $(0,0)$ で連続であることの証明：

極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用いると、

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f(x, y) = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)}{r^2} = r^2\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = \frac{1}{2}r^2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = \frac{1}{4}r^2\sin(4\theta)

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したがって、$|f(x, y)| = |\frac{1}{4}r^2\sin(4\theta)| \leq \frac{1}{4}r^2$。

$r = \sqrt{x^2 + y^2} \to 0$ のとき、$\frac{1}{4}r^2 \to 0$ であるから、$f(x, y) \to 0 = f(0, 0)$。

よって、$f(x, y)$ は原点で連続である。

(2) $f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ が原点 $(0,0)$ で連続であることの証明：

まず、$x \neq 0$ または $y \neq 0$ のとき、

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f_x(x, y) = \frac{(y(x^2 - y^2) + xy(2x))(x^2 + y^2) - xy(x^2 - y^2)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y(x^4 + 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}

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f_y(x, y) = \frac{(x(x^2 - y^2) + xy(-2y))(x^2 + y^2) - xy(x^2 - y^2)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2 + y^2)^2}

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次に、原点での偏微分を定義に従って計算すると、

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f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

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f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0

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したがって、$f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0$。

$f_x(x, y)$ の連続性について、極座標変換を用いると、

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f_x(x, y) = \frac{r\sin\theta(r^4\cos^4\theta + 4r^4\cos^2\theta\sin^2\theta - r^4\sin^4\theta)}{r^4} = \sin\theta(\cos^4\theta + 4\cos^2\theta\sin^2\theta - \sin^4\theta)r

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したがって、$|f_x(x, y)| \leq 6r \to 0$ ($r \to 0$)。ゆえに、$f_x(x,y)$ は原点で連続。

同様に、$|f_y(x, y)| \leq 6r \to 0$ ($r \to 0$)。ゆえに、$f_y(x,y)$ は原点で連続。

(3) $f_{xy}(x,y)$ と $f_{yx}(x,y)$ が原点 $(0,0)$ で不連続であることの証明：

まず、$f_{xy}(x,0)$ を計算する。

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f_{xy}(x,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(x,k) - f_x(x,0)}{k}

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$f_x(x,k) = \frac{k(x^4 + 4x^2k^2 - k^4)}{(x^2+k^2)^2}$ であり、$f_x(x,0) = \frac{0(x^4)}{x^4} = 0$ であるから、

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f_{xy}(x,0) = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{k(x^4 + 4x^2k^2 - k^4)}{(x^2+k^2)^2} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{x^4 + 4x^2k^2 - k^4}{(x^2+k^2)^2} = \frac{x^4}{x^4} = 1

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次に、$f_{yx}(0,y)$ を計算する。

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f_{yx}(0,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,y) - f_y(0,y)}{h}

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$f_y(h,y) = \frac{h(h^4 - 4h^2y^2 - y^4)}{(h^2+y^2)^2}$ であり、$f_y(0,y) = \frac{0(-y^4)}{y^4} = 0$ であるから、

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f_{yx}(0,y) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h(h^4 - 4h^2y^2 - y^4)}{(h^2+y^2)^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^4 - 4h^2y^2 - y^4}{(h^2+y^2)^2} = \frac{-y^4}{y^4} = -1

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次に、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を定義に基づいて計算する。

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f_{xy}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_x(0,h) - f_x(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f_x(0,h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{h(0 - h^4)}{h^4} }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h^5}{h^5} = 0

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f_{yx}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_y(k,0) - f_y(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f_y(k,0) - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{ \frac{k(k^4)}{k^4} }{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^5}{k^5} = 0

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したがって、$f_{xy}(0,0) = f_{yx}(0,0) = 0$ ですが、$(x, 0)$ に沿って原点に近づくと $f_{xy}$ は $1$ に近づき、$(0, y)$ に沿って原点に近づくと $f_{yx}$ は $-1$ に近づくため、原点 $(0, 0)$ で $f_{xy}$ と $f_{yx}$ は不連続である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続である。

(2) $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続である。

(3) $f_{xy}(x, y)$ と $f_{yx}(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で不連続である。