$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1}(2x)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1}(2x)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、変数変換を行います。

まず、$\tan^{-1}(2x) = \theta$ とおきます。

このとき、$2x = \tan \theta$ より、$x = \frac{1}{2} \tan \theta$ となります。

また、$x \to 0$ のとき、$\theta \to 0$ となります。

したがって、与えられた極限は、

$$$$

\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1}(2x)} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta}

$$$$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ であるので、

$$$$

\frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$