数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = -2a_n - 2n + 5$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ で表せ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = -2a_n - 2n + 5$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。

$S_n = -2a_n - 2n + 5$ ...(1)

$S_{n-1} = -2a_{n-1} - 2(n-1) + 5$ ...(2)

(1) - (2) より、

$S_n - S_{n-1} = (-2a_n - 2n + 5) - (-2a_{n-1} - 2(n-1) + 5)$

$a_n = -2a_n + 2a_{n-1} - 2n + 2(n-1)$

$a_n = -2a_n + 2a_{n-1} - 2$

$3a_n = 2a_{n-1} - 2$ ...(3)

次に、$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ なので、$S_1 = -2a_1 - 2(1) + 5$ から $a_1$ を求めます。

$a_1 = -2a_1 - 2 + 5$

$3a_1 = 3$

$a_1 = 1$

(3) 式を変形します。

$3a_n = 2a_{n-1} - 2$

$a_n = \frac{2}{3}a_{n-1} - \frac{2}{3}$

特性方程式 $x = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$ を解きます。

$\frac{1}{3}x = -\frac{2}{3}$

$x = -2$

数列 $\{a_n + 2\}$ は、初項 $a_1 + 2 = 1+2 = 3$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列です。

$a_n + 2 = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} - 2$

$a_n = 3 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} - 2$

$a_n = \frac{2^{n-1}}{3^{n-2}} - 2$

この式が、$n=1$ のときも成り立つか確認します。

$a_1 = \frac{2^{1-1}}{3^{1-2}} - 2 = \frac{2^0}{3^{-1}} - 2 = \frac{1}{1/3} - 2 = 3 - 2 = 1$

したがって、一般項は、$a_n = \frac{2^{n-1}}{3^{n-2}} - 2$ で正しいです。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2^{n-1}}{3^{n-2}} - 2$