与えられた不等式 $x^2 < 2x + 15$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 < 2x + 15$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理して、右辺を0にします。

$x^2 < 2x + 15$ を変形して、$x^2 - 2x - 15 < 0$ とします。

次に、左辺の二次式を因数分解します。

$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$

したがって、不等式は $(x - 5)(x + 3) < 0$ となります。

次に、この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$(x - 5)(x + 3) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 5$ と $x = -3$ です。

これら2つの値を数直線上にプロットすると、数直線は3つの区間に分割されます。

(1) $x < -3$

(2) $-3 < x < 5$

(3) $x > 5$

それぞれの区間で $(x - 5)(x + 3)$ の符号を調べます。

(1) $x < -3$ の場合、$x - 5 < 0$ かつ $x + 3 < 0$ なので、$(x - 5)(x + 3) > 0$ となります。

(2) $-3 < x < 5$ の場合、$x - 5 < 0$ かつ $x + 3 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 3) < 0$ となります。

(3) $x > 5$ の場合、$x - 5 > 0$ かつ $x + 3 > 0$ なので、$(x - 5)(x + 3) > 0$ となります。

したがって、$(x - 5)(x + 3) < 0$ を満たす $x$ の範囲は $-3 < x < 5$ です。

3. 最終的な答え

$-3 < x < 5$