数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2a_n - 1$ であるとする。 (1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示せ。 (2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2a_n - 1$ であるとする。

(1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示せ。

(2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 2a_n - 1$ と $S_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$ を利用する。$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ であるから、

$$S_n + a_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$$

$S_n = 2a_n - 1$ を代入して、

$$2a_n - 1 + a_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$$

$$2a_n = a_{n+1}$$

よって、$a_{n+1} = 2a_n$ が示された。

(2) (1)より、数列 $\{a_n\}$ は等比数列であることがわかる。初項 $a_1$ を求める必要がある。

$S_1 = 2a_1 - 1$ であり、$S_1 = a_1$ であるから、

$a_1 = 2a_1 - 1$

$a_1 = 1$

したがって、数列 $\{a_n\}$ は初項が $1$、公比が $2$ の等比数列である。よって、

$$a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$$

$$a_n = 2^{n-1}$$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 2a_n$ である。

(2) $a_n = 2^{n-1}$